ジョン・A・パウロス
確率で言えば
青土社 2001
ISBN:4791758692
John Allen Paulos
Once Upon a Number 1998
[訳]松浦俊輔
装幀:高麗隆彦
統計や確率は自立していない。
そこには、サタンやサンタやアンタが関与する。
純粋に見える数学が、
なぜこうした主観的幻想に苛まれるのか。
数学の解釈に由々しい問題があったからに決まっている。
けれども長らく、経済学はこの問題を無視してきた。
トヴァスキーやカーネマンが登場するまでは。
しかしそろそろ数学の側からも
訂正が入るべきなのだ。
そして、統計と物語とが比較されるべきなのだ。

  ポーカーでは、ワンペアよりもツーペアが、ツーペアよりもスリーカードが出る確率が少ないから、スリーカードという手が強いというルールに価値がある。ところがここにジョーカーを1枚入れると、ツーペアが出やすくなり、さらにジョーカーを2枚入れたゲームにすると、今度はツーペアよりもスリーカードのほうが出やすくなるという逆転がおこる。

 こういうジョーカー2枚のゲームではツーペアのほうが出にくい確率なのだから、ツーペアがスリーカードの上位の得点にならなければならない。そこでルールを変えて、ツーペアのほうがスリーカードよりも得点が上だとすると、プレイヤーはツーペアかスリーカードの両方が手にきたときは当然ツーペアを選ぶため、ふたたびツーペアのほうが出やすくなる。
 しかし、ここにはまだもっと意外な事態がひそんでいる。2枚のジョーカーを入れたゲームでは、実は「手がないほうの確率」がワンペアよりも上になる。かくしてここに線形の順序がなくなってしまい、ゲーム事態は混乱をきわめるのだ。
 ポーカーのような単純だが厳格な序列のあるゲームですら、たった2枚のジョーカーによって価値はめまぐるしく変わる。まして社会や人生のゲームでは、何枚のジョーカーがいつどこに入ってくるのか見当もつかず、そのため、いつ、何に、どのくらい価値がつくのかなんてことは、とうていリニアには測れない。
 世の中では、出会い、結婚、育児、会話、生計、投資、病気などで、相手がルールを変えてしまうことはしょっちゅうなのだ。

 統計や確率というものは独立していない。静止もしていない。
 ミロのヴィーナスのプロポーションや君台観左右帳記の座敷飾りでないかぎり、固定した割合だけで成立している世界なんてものはない。そこには必ず「状況」と「意味」と「価値」が関与する。
 確率だけを自立させられる定義があるとすれば、いまのところはコルモゴロフが列挙した初歩的なものだけで、それ以上でもそれ以下でもない。統計も確率も「ふだん」の日々から生じてきたものなのだ。
 たとえば統計的な中心性をあらわす「平均、中央値、最頻値」といった概念は、「ふつうは、おそらく、真ん中あたり、おおむね、中くらい、月並みに、またもや」といった日常語をちょっとだけ抽象化したものにすぎず、統計的なばらつきをあらわす「標準偏差、分散」といった概念は、「おかしい、特別に、変だ、独特、めずらしい、そろってない、多すぎる」といった言葉の言い替えヴァージョンなのである。
 同様に「確率」の意味は、「たまたま、運があれば、ツキも伴って、だったら賭けようか、偶然にも、まぐれかも、見通しでは」といった言葉の示すところとほとんど変わりない。
 えらそうな顔をしているわりに、統計や確率というものは、人間が予想しようとしたことのうちの、数式にあてはまりそうな因果関係だけをたくみに数学的に説明してみせたQ&Aの束なのである。
 それゆえ統計にも確率にも、必ず「状況」と「意味」と「価値」という背景がくっついている。この背景を切り離した統計学や確率論は、そのままでは雄弁にも言い訳にもなりえない。この背景のことを、まとめて「物語」ということもできた。

 本書はこの手のもののなかでは、めずらしく愉快な一冊だった。タレブの『まぐれ』(ダイヤモンド社)やムロディナウの『たまたま』(ダイヤモンド社)は、この本を“母”として羽ばたいていったにちがいない。
 著者のジョン・パウロスはテンプル大学の主席研究員を務めてきた有数の数学者だが、数学の意味に関してはそんじょそこいらの数学者とは一線にならない。すでに『数学するヒント』(白揚社)や『数学とユーモア』(紀伊国屋書店)で鮮やかな切り口を見せてきた。それが本書では、統計的確率論を物語に引き付けて、統計も確率も「情報を組み立てた」という点では物語と変わらないということを述べた。
 たんに統計と物語がよく似ていると言っているだけではない。数字による予測や価値判断は、もともと物語的背景によってしか説得力をもたないというところまで切り込んでみせた。
 物語は統計的数値に文脈を与えるだけでなく、そこに「意味」と「価値」をもたらしているのである。こういう指摘は、語り口は柔らかいが、パウロスならではの「笑い」と「毒」が効いている。

 それにしても「確率と物語」を並べたのはパウロスが初めてだ。これはやられた。
 たしかに確率にはなんらかの物語が必要なのである。日本の人口が男47パーセント、女53パーセントだからといって、平均日本人は睾丸1個と卵巣1個ちょっともっているわけではない。
 同様に、消費者物価指数が示すものは、比率や指数関数を知るだけでは何の役にも立たず、そこに経済思想や税法の意図や製作の片寄りや社会心理の動向なども加わってくるべきで、またそこには、物価についての多くの登場人物(政治家、日銀総裁、企業家、主婦、フリーターまで)の発言や態度も綾なすべきなのだ。
 統計的確率論や市場原理主義は、完全無欠だが気味の悪い「ホモ・エコノミクス」(経済人)という平均人間を前提にして発達しすぎた。それを経済思想で切り崩す試みはすでにたくさん出てきたが、数学者のほうから切り崩す者があまりに少なかったのだ。マーティン・ガードナー(83夜)がパウロスを絶賛したのは当然だ。
 パウロスはその後も、『天才数学者、株にはまる』(ダイヤモンド社)や『数学者の無神論:神は本当にいるのか』(青土社)を書いて、きわどい統計的確率論批判を展開してみせている。

 どんな学問や知識人もあけっぴろげには言わないが、実は心ひそかに悩んでいることがある。個別と一般、主観と普遍、特殊と標準、一人称と三人称といった対比のなかには、きっと何か互いをつなぐものがあるのだろうに、どうもそれが決めきれないという悩みだ。
 ポストモダン以降、哲学や社会思想や文学理論では、とっくにこの問題は周知の事実になっている。「何か互いをつなぐもの」がサタンやサンタやアンタでないこともわかっている。そういうふうに思いこむ恐ろしいパラノイア(PPP=Probabilistically Provoked Paranoia)が、古来、人間につきまとうこともわかっている。
 ところが統計学や確率論は、このような対比にひそむかもしれない「互いをつなぐ関係」を長らく考慮してこなかった。パウロスが言うように、統計学や確率論は度しがたく保守主義で、愚直なまでにツルツルだったのだ。
 そこでエイモス・トヴァスキーやダニエル・カーネマンがここに心理学を加え、まずは『不確実性のもとでの判断』を発表して“行動心理的経済学”ともいうべき鳥羽口を開き(行動経済学と総称されている)、ついでは、確率的統計がつくりだす数値には編集プロセスと評価プロセスがあって、そこには「意味の読み替え」がおこりうるのだということを調査研究したのだった。
 これがやがて経済学にヒューリスティクスとバイアスを勘定に入れた見方を持ち込むことになり、「ベイズの定理」の再生と再解釈をもたらすことになっていったことについては、連環篇冒頭の『たまたま』(1330夜)でも、前夜の『確率論的思考』(1340夜)でも、ふれておいた。ビル・ゲイツの発言以降、いまやベイズ・テクノロジーがIT業界を駆けめぐっていることも、すでに述べた。
 しかし本当は、ここには物語との比較が欠けていたというのが、数学者パウロスの指摘だったのだ。統計や確率はあまりにたやすく経済社会で用いられたために、小ぶりではあるけれど、サタンやサンタやアンタの介在を払拭するまでには至っていなかったのだ。

 ソール・クリプキの『名指しと必然性』以来、何かに名前がつくということは、そこに何かが実在してしまうことであり、かつ、そのものとその他のものとの関係が多様に生まれ、そこにさまざまな「可能世界」が広がっていくのだということが見えてきた。
 物語は、まさにこの可能世界を平然と書いてみせてきた。1920年代から南米に「バーリ・トゥード」という格闘技の大会がおこなわれているのだが、これはどんな格闘技の参加もOKの大会で、つまり「何でもあり」だった。だからここからはヒクソン・グレーシーのジュージュツ(ブラジリアン柔術)といった柔道だかサンポだかわからない格闘技も出てきた。
 可能世界とはこのように「何でもあり」がおこる世界のことである。そして物語こそはまさにバーリ・トゥードなのである。そこではたくさんのツーペアもスリーカードも登場し、いくらでもフルハウスやフラッシュより強いカードが現れる。しかしK1や極真空手やプロレスがそうであるように、そのたびにルール・ツール・ロールも入れ替わる。物語はたくみにこの入れ替えを成立させてきた。
 これに対して統計も確率も、原則としては物語のように何でもを扱うのだが、扱うときにモデルを設定してきた。このとき、「個別と一般、主観と普遍、特殊と標準、一人称と三人称」といった対比を切り離した。これで、統計や確率からはすぐには「何か互いをつなぐもの」が見えにくくなったのだ。
 パウロスは、物語がメタファー、メトニミー、モード、ミメーシスを持って発展してきたように、そこからメタフィクションや地口や洒落を作り出してきたように、統計的確率論もそろそろそうした物語性(ナラティヴィティティ)を抱えるべきだと言っている。
 これは、そうかんたんなことではない。必然性が好きな数学の真理にまつわることと、不確実な「たまたま」をたくみに経験にとりいれる物語の心理とは、そのモデル性においてそうとうのヒラキがあるからだ。コンピュータも、「グルーブリーン」という言葉が実は「ブルーグリーン」の言い替えであることを、すぐには見破れない。

 情報とは不確実性あるいは意外性の尺度のことである。もう少し定義を広げれば、不確実性と意外性の複合度の尺度のことである。
 そうだとすると、そろそろ情報理論は新たなステージに突入していくべきなのである。チェーホフの短編と0と1の数列とラップの言葉とは、なんらかの情報理論でつながるべきなのだ。パウロスはこれを「物語と統計と自我」とがつながるべきだという言い方にしている。
 ここに自我が入っているのは、人間一人の「知」には世界知や共同知に対応する個別知がすぐには用意できないのだから、個人の脳の複合度の限界に応じた物語と統計との組み合わせについての柔らかいモデルが必要だろうという意味だ。
 なるほど、それもそうかもしれないが、もっとラディカルな提案をするなら、統計と物語の共通性は情報編集システムとして可能世界を想定することによって、「語りの単位」や「比喩の広がり」をもって集計され、統合され、システム化されたってかまわないというふうになる。
 統計や確率の概念が「たまたま、ふだん、おそらく、おかしい、独特、多すぎる、運があれば、またもや、まぐれかも」といった日常語を、ちょっとだけ抽象化したものにすぎなかったことを思い出せば、このことは決して不可能ではないだろう。
 すでにコンピュータ科学者のデヴィッド・ゲラーンターは「重層的で、微妙な意味合いと相互参照する物語、寓話、謎、注釈を備えたシステムを想定すれば、どんな厳密な数理的な推論にも対応できるだろう」と述べて、それには数理工学屋がみんな『タルムード』を研究するべきだと言った。ぼくなら、日本語でそれをするなら、空海(750夜)や白川静(987夜)こそをシステムにとりいれるといいと言いたい。

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【参考情報】
(1)ジョン・パウロスのような数学者は、ヨーロッパに少なくアメリカに多く、日本にはまったくいない。ぼくはマーティン・ガードナーの再来だと思っているが、ひょっとすると『タオは笑っている』(工作舎)のレイモンド・スマリヤンの系譜にも入るのかもしれない。ぼくはニューヨークのソーホーのバーの片隅でスマリヤンのカード・マジックを見せられて以来、ずっと数学病に罹ったままなのだ。

(2)数学はずっと不確実性に挑んできたともいえる。その枝分かれした一端に統計学や確率論があるだけのことで、数学本質そのものが実は不確実なるものとの闘いだったのだ。これについてはなかなか適確な本がないのだが、なかではモーリス・クラインの『不確実性の数学』上下(紀伊国屋書店)が唯一、抜群だ
 長いあいだ数学こそは推論の極致で、それ自体が真理システムで、自然の配剤についての唯一の正しい言明だと思われてきた。そういう数学の輝かしい成果は必ずしも正しいとはかぎらないということは、数学者自身がいちばん実感してきたことなのである。ぼくが最も影響をうけた自然哲学者であって、洞察的数学者でもあったヘルマン・ワイル(670夜)は、すでに1944年に次のように書いている。「数学の根本的基礎とその究極の意味についての疑問は未解決のままである。数学はどういう方向に最終的な解答を見いだすのか、あるいはその最終的な答えがそもそも期待できるかどうかもわからない」。
 クラインの『不確実性の数学』は、数学や数理を扱っている者すべてが一度は読むべきである。数学もまた不確実性や複雑性と戯れているということを、数学の流れを追いながらこんなに詳細に説いた本はなかった。著者のモーリス・クラインは「ユークリッド以来の誰よりも数を理解している」と言われてきたニューヨーク大学の数学科の名誉教授で、この手の著作に最もふさわしい。

(3)ちなみに、なぜ数学の牙城は崩れたのかといえば、公理を前提にしてもっぱら演繹に頼ってきたからだ。そのうち厳密な推論をすることよりも、真理らしい真理を獲得することに酔ったからだ。実際にはいくつもの数学があるはずだったのに、一つの数学があると思いすぎたからだ。
 ついでにいえば、数学の無謬性過信に対する最初のゆさぶりは、18世紀のトマス・ホッブス(944夜)、ジョン・ロック、ジョージ・バークリーをへて、ディビッド・ヒュームによってもたらされた。
 ヒュームは『人性論』で、デカルトが想定した精神も物質も実は作り事ではないかと言って、自然法則の必然性と永遠性と不可侵性を疑った。ヒュームは公理までは否定しなかったものの、自然世界が不変の数学的法則に従うという定説にヒビを入れたのだ。
 これは「人間は真理を得られない」「理性は普遍性をもっていない」と言ったようなものだったから、当然、反論の狼煙が上がった。その代表者はカントだ。カントは『純粋理性批判』で数学のあらゆる公理と定理は真理であると宣言し、『プロレゴメナ』では純粋数学や純粋科学は既知の事実であって、人間はそれをアプリオリ(先験的)な総合認識としてもっているのだとみなした。ただし、経験によってはそれは確認されないともみなした。
 理由は、われわれの精神にはそもそも空間と時間の形相があるからで、その形相にもとづく直観が経験を見ているからだというものだ。経験の粉を直観の型に入れるように、経験がそこに適合していくというのだ。
 こうしたカントのいうアプリオリな総合知識は、われわれの精神がもともとユークリッド幾何学が示す空間に適合しているという説明になっている。が、これこそ変な議論だったのだ。まあ、このあたりのことも、いつか詳しく書いてみたい。

(4)可能世界については、かなり本格的な哲学思想になっている。いずれ千夜千冊でもふれるけれど、これをちゃんと理解するには論理哲学と分析哲学を通過する必要がある。とりあえずは、ハンス・ライヘンバッハ『記号論理学の原理』(大修館書店)、オールウド&アンデソン&ダール『日常言語の論理学』(産業図書)、ヒューズ&クレスウェル『様相論理入門』(恒星社厚生閣)、ソール・クリプキ『名指しと必然性』(産業図書)、そして三浦俊彦の『虚構世界の存在論』(勁草書房)や『可能世界の哲学』(NHKブックス)を覗かれたい。
 ただし、三浦の著作以外には「物語」は登場しない。物語と論理や推論を一緒くたに考えられる思想は、まだ端緒についたばかりなのだ。もしも、深くかかわりたいなら、イシス編集学校の「序」を体験したうえで、「守」と「破」に進み、そのうえで「遊」コースの「物語講座」の門を叩いてもらうといい。
 

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