確率の哲学的試論

　今夜はラプラスを書いてみようとおもう。ラプラスといってもカント＝ラプラスの星雲説から確率論までいろいろ広いのだが、今夜はすこし身辺感想記ふうにする。
　ラプラスを最初に読んだのは、中央公論社の「世界の名著」第65巻「現代の科学Ⅰ」に、ドルトンの『化学の新体系』、マックスウェルの『原子・引力・エーテル』、ヘルムホルツの『力の保存についての物理学的論述』、リーマンの『幾何学の基礎をなす仮説について』などとともに、『確率の哲学的試論』が収録されたときからだから、ほぼ30年前の20代最後の年のころになる。
　この巻の解説を湯川秀樹と井上健が書いていて、その原稿を入稿した直後だろうか、湯川さんが「ちょっとおもしろい解説を書いたから読んでみてや」と言われたので待ちどおしくおもいながら入手した。現代物理学を予見していたかのようなボスコヴィッチの「加速する点粒子の仮説」のことが詳しく書いてあって、新鮮な衝撃をおぼえたものだった。
　ほかの収録論文ではヘルムホルツとボルツマンに共感したが（リーマンはすでに菅原正巳の訳で読んでいた）、ラプラスの確率論についてはそれほど印象がのこらなかった。だいたい確率についてぼくが強い関心をもてたのは、コルモゴロフの『確率論の基礎概念』を読んでからだから（もっといえばチューリング・マシンに関心をもってからのことなので）、ずいぶんあとのことなのだ。
　やがてラプラスを多少はちゃんと読もうかという日がやってきたとき、確率論というよりもラプラスという科学者・数学者の全体像に何かピンときた。この「ピンときた」というのは、ときどきぼくが科学者たちに感じるもので、共感も反感も含めて「科学というのはこういうものなのだ」「こんなものか」「ここで飛躍するのか」といったことがたちまち了解できることをいう。

　急に話を変えるようだが、この２週間ほど、新聞やテレビはライブドアとニッポン放送の株式取得合戦と、コクド・西武鉄道の株をめぐる闇取引の話題でもちきりである。
　いずれ桜が散るころには忘れ去られるだろうことは、世間の喧噪と誤報と驕慢の相互露呈など、いまさらに始まったことではないから当然なのだが、こうした社会経済の異常気象の背後で何かが必ずや喪失し、何かが必ずや倒壊していることをおもうと、しばしば「取り戻しようのないこと」とは何だったのかという重要問題を強迫されている気分になる。
　日本が軋（きし）んでいるのはまちがいがない。さまざまな現象がこのあとどのように夕闇の岬のほうへ落暉していきそうかは見えている。すでに出生率が落ちて高齢化がすすみ、金利は落ちつづけて貯蓄の意味が失われ、国債の発行数と国家の借財の関数は複雑な陥穽にむかって曲線を巻こんでいる。失業率も社会保険問題も日々深刻になっている。完全失業率がやや回復していても､流動失業率の底辺は広がるばかりなのである。これではアリコの保険や年末年始の福袋や競馬競輪競艇への殺到や、あるいはキャッシュカード偽造やニセ札やあまたのカード犯罪に鎬を削るのもむべなるか、誰が何を犯そうとも互いに文句をいえる筋合いはない。
　どだい、そうしたニュースを報じるマスメディア自体が株価に踊らされている現状なのだ。そうでなくともＮＨＫと朝日と週刊文春は長らく三つ巴の戦争状態である。

　ところで、それはそれ、いまあげた株価や出生率や犯罪発生やギャンブルエコノミーなどの問題には、共通点がある。それらはそもそも数学的にはウラでつながっていて、これらすべてにまたがる現象がかかえる問題は、実は近代国家がひとしなみにかかえる「確率と可能性をめぐる臆測の危うさ」という根本問題なのである。
　この、近代国家がひとしなみかかえる問題を、片っ端からその原理原則に戻って検討し、そこにひそむであろう根本ルールに挑んだ数学巨人がピエール＝シモン・ラプラスだった。株価・出生率・失業率・金利問題は、すべてラプラスがとりくんだサブジェクトだった。
　こうした「確率と可能性をめぐる臆測の危うさ」あるいは「賭け率と戻り率の数学」は一般にはパスカルが着手したとおもわれているようだが、パスカルは個人を襲う賭け率の計算法を、ラプラスは全体というシステムに生じる確率の計算法を扱った。しかもラプラスのそれは近代国家の本質を衝くもので、かつ、新たな力学的で数学的な世界構造の確立を謳歌するものだった。ぼくはそのようなことを仕上げる気になったラプラスにピンときたのだった。

　ラプラスが『天体力学』の初版を書いたのは1799～1825年である。この19世紀の初頭という年代が重要だ。時計の針はナポレオン時代のフランスをさしている。
　『天体力学』が何をはたしたかといえば、ニュートン力学から導かれうる諸原理が、これでほぼ全面的に惑星系にあてはめられたのである。それ以前、万有引力の法則が何にもまして正しそうであることは知られていたのだが、ニュートン自身は太陽系が最終的に秩序を保つには「神の覗き穴」が必要だと思っていたのだし（『プリンキピア』第３篇にはそのことが書いてある）、オイラーは月の運動の微妙な変化を説明できる方法がないことに困って、はたしてニュートンの理論だけで惑星と衛星の関係が数学になるのか疑っていた。
　それらの疑問を晴らしたのがラプラスである。惑星や衛星の摂動計算をめぐるラグランジュの協力もあって、大半の誤差の修正もやってのけた。
　当時の惑星系の全体といえば世間からみれば宇宙そのものだったといってよい。ラプラスは『天体力学』を書きあげたとき、初めて宇宙というもの（つまりはすべての世界というシステム）を、力学的に、かつ数学的に制覇したと実感したにちがいない。近代ダイナミズムの構想（力学的世界観）は、ここでひとつの頂点に達したのである。

　もともと宇宙を「ひとつながりの力学的世界像」として描くということを最初に準備したのは、ガリレオの『新科学対話』やニュートンの『プリンキピア』やボスコヴィッチの『自然哲学の理論』だった。
　それがドイツではライプニッツを媒介にして、カントの『天界の一般自然史と理論』のほうに向かってかたちをなし、フランスではアンペール、コーシー、ポアッソンをへて、ラプラスに結実した。『天体力学』という書名は、かのプトレマイオスの『アルマゲスト』にとって代わる、新たな近代世界のシステムを全面解読する"数字で書かれた聖書"となった。
　こういうことはついつい科学史の出来事や専門知識の成果として片付けられがちであるが、そのように見てはよろしくない。数学によって宇宙や世界のしくみを証明してみせることは、イギリスもドイツもフランスも、国家（王室）の威信をかけての計算合戦だったのだ。いまなら原油を押さえて石油製品技術を競う、より強力な軍事兵器を開発する、ゲノム解読によってバイオ産業の独占を謀る、コンピュータのＯＳも回線も基本ソフトも牛耳る‥等々の、ようするに国家が他の国家に勝つための根本シナリオなのである。わかりやすくはフルシチョフとケネディの人工衛星合戦や、いまも引きも切らない核開発競争だ。かつてはそれらにあたるのが、天体論や物理論や数学論だったのだ。

　ラプラスは『天体力学』の3年ほど前に『世界体系解説』を書いていた。世界体系という標題の言葉にも暗示されているように、そのときは「世界」を、今度はさらに大きな「宇宙」を制した気分であったろう。
　時まさにナポレオンの世。ナポレオンはむろん宇宙こそ制しはしなかったけれど、当時のヨーロッパ世界の大半を征服しつつあった。そんなことはフランク王でもエリザベス女王でもできなかったことだった。それをあっというまに果たした。ラプラスとナポレオンはきっと似たような凱歌の感慨に耽ったはずだ。
　そのナポレオンは「科学は事実しか認めないから最も尊敬できる」とふだんから言っていた。歴史を見ていると、急激に権力を入手した為政者や権力者たちというものは、たいていは「事実の成果」をやたらに誇っている。理屈ではなく、事実に酔ったのだ。権力奪取者が愛したのは自分がやってのけた事実なのである。近代においてはその「事実の成果」は科学と技術が独占する。ナポレオンにとってラプラスの世界体系の提示は待ち望んでいたものだった。
　こうしてナポレオンとラプラスは（そしてベートーベンは）、「全体というシステム」を記述したいという理念と野望を、まったく同時期に現実化したわけである。ラプラスは『天体力学』の序文でナポレオンを口をきわめて賛美する。
　しかし、ナポレオンはまもなく失脚してしまった。ラプラスは驚いて（ベートーベンも驚いたが）、新たなエディションの『天体力学』から序文をすっかり削除した。ついで書きあげたのが本書『確率の哲学的試論』なのだが、そこでは献辞はナポレオンではなく、ルイ18世の名になっていた。ラプラスにとって、「事実の体系」を知るべき相手はつねに現実の世界制覇者でなければならなかったからだ。ラプラスを読んでいると、こうした科学と国家の接近にしばしばピンとくるものがある。

　時代の符牒の話はこれくらいにして、ぼくが気になっているもう二つのラプラス問題についてふれておきたい。ひとつは本書にみられる確率の問題だ。先にこの話をする。
　もうひとつは、いわゆる「ラプラスの魔」とは何かということだ。こちらは科学や数学の根本的な前提をめぐることになる。いずれも、われわれが陥りやすい推論の限界をたどる問題だが、今夜はその話は控え目にしておきたい。

　コインを投げて表が出るか裏が出るかをあてようとしているとき、われわれは確率の問題に直面している。ふつうは、コインの出た目の確率（Ｐ）はバラバラなように見える。だからこそサッカーの試合開始前のコイントスがあり、いまなおサイコロ賭博が流行する。
　このとき、われわれは「予想できなかったことがおこっている」のか、それとも「何かの理由があって予想しうることがおこっている」のか、このどちらの立場にいるかを問われる。このことを考えきったのがラプラスなのである。ラプラスはサイコロの目を予測するようなときの数を「場合の数」とよんだ。
　コインの勝負やサイコロ賭博は数回に限られているが、ラプラスが考えた「場合の数」はｎ通りある。それならば、コインを投げる回数ｎをものすごくふやしたらどうなるか。コインの両面がほぼ等しい造作でできていて、投げ方もほぼ一定ならば、出た目はしだいに1/2に近くなってくるはずだ。サイコロも同様で、すべての統計をとれば出た目はほぼ1/6ずつになる。これを「大数の法則」という。

　確率の問題はこれで初めて数学に近づいた。のちの統計数学もファジー理論もここから出てくる。
　ただし、大数の法則が教えることはたいしたことではない。たとえば10回つづけて表が出たから、次は裏が出る確率が高いだろうというような予想を否定しているということだけだ。裏が出る確率はあいかわらず1/2なのだ。サイコロなら100回振ってゾロ目が一度も出なかったから、そろそろゾロ目が出るだろうというイチかバチかの予想をしたくなるだろうが、これは残念ながら成り立たない。確率はやっぱり1/6なのである。
　こういうふうになるのは、コインやサイコロには表と裏とか１から６までとかの限定があるからだ。合格率や天気予報もだいたいの幅がある。統計をとればなんとかなる。
　ところが、コンビニ・ケーキの中に金属片が混入されている危険性はどのくらいあるかとか、明日、銀座４丁目の角で知り合いに出会う確率はどのくらいかというような問題になると、お手上げである。因果関係の幅が限定されるときの確率と、因果関係がはっきりしない確率とでは様子がちがうのだ。このちがいは「不確実性」のちがいであると考えたい。ラプラスは数学史上、初めてこの不確実性をめぐる数学に挑んだ。
　ラプラスが試みたことは、すべての予測できそうもない事象を予測することではない。そう思ってはいけない。「不確実性を扱う方法」があるということなのだ。そこがわからないと確率や統計はつかえない。だいたい数学的確率と統計的確率はちがうのだし、検定（test）と推定（estimation）はちがう方法だ。

　確率は、ある試行をするときにそこに特定の事象がおこる割合を示す。その事象の最小単位を根元事象という。さまざまな根元事象がおこる確率が等しいとき（コインやサイコロにインチキがないとき）、特定の事象Ｅがおこる確率Ｐは全事象Ωに含まれる根元事象の数ｎとの関係によって決まる。これが数学的確率である。もしｎが数えられないばあいは（非加算）、大きさや濃度で計算する。
　事象のなかに含まれる根元事象が確定できなかったり、根元事象を表示しにくいときは、ｎ回の試行をしたうえでそこに含まれる確率を浮き出させる。これが統計的確率である。
　こうした確率の値にも、連続的な確率変数もあれば離散的な確率変数もある。なんでも確率でわかるというのではなく、どのように確率に対する態度を決めればいいのかというのがラプラスの成果だったのである。ようするに世の中の一部の現象をしかるべき「確率モデル」として眺める方法を提案したのだった。これはのちに行動科学や経営学において「意思決定モデル」にまで発展した。
　ちなみに検定と推定のちがいは、こうなっている。さまざまなデータ（情報）が生じる母集団のすべてをチェック対象にできないとき、そこからサンプルを取り出して母集団の特定の傾向を調査判断するのだが、このばあい、あらかじめインディケータを設定してから確率モデルにあたって統計的な操作するのが「検定」で、これは計算者の仮説を実証したいときにつかう。一方、「推定」というのは、なんらかの計算によって母集団そのものがどういう特徴をもった母数であったのかを見いだすのが目的になる。
　ぼくは世の中の大半の検定試験に関心はないのだが、まだあまり試みられてないものの、新たな母集団を創出しうる推定試験というものに関心がある。

　さて、ラプラスについてはやはり「ラプラスの魔」にふれないわけにはいかない。この「魔」はデーモン（魔物）という意味と「完全な知性」という意味をもっている。
　ラプラスの自然哲学は決定論的である。決定論的というのは、ある力学系の初期条件についての正確な知識を手にすることができれば、その系のその後の状態を正確かつ確定的に演繹することができると考える立場をいう。この考えを妨げるものがあるとすれば、それは初期条件に対する不確実性だけである。
　本書のなかでラプラスは、こう書いた。「われわれは、宇宙の現在の状態はそれに先立つ状態の結果であり、それ以降の状態の原因であると考えなければならない。ある知性が、与えられた時点において、自然を動かしているすべての力と自然を構成しているすべての存在物の各々の状況を知っているとし、さらにこれらを分析する能力をもっているとしたならば、この知性は同一の方程式のもとにすべての不確かなことを取り除くであろう」。
　この知性が「ラプラスの魔」にあたる。「ラプラスの魔」がいてくれさえすれば、未来もまた過去と同様にすべからく決定されることになる。
　しかし、われわれはむしろ初期条件の無知から誕生していたともいうべきである。そもそもわれわれは自分が誕生してきたときのことをおぼえていないし、地球の誕生期もわからないし、ビッグバンの詳細も知ってはいない。そこで、この初期条件の無知を補充するための方法が必要になる。ラプラスはそれが「確率論的な方法」だと考えた。

　ラプラスの魔と確率論の親密な関係は、その後の多くの科学の方向を決定づけたといってよい。統計数学をつくりあげ、量子力学には確率振幅という考え方を導入させた。いまやそれはカオス理論の全般におよんでいる。
　いや、疲れを知らない精密・大容量・超高速のコンピュータの登場は、誰もが世界の初期条件にかかわれる可能性を示唆した。エドワード・ローレンツの「バタフライ」理論もジェームズ・ラヴロックの「ガイア」仮説も、初期条件の計算とその誤差の発見から生まれたものなのだ。
　こうしてみると、ラプラスが「完全なる知性」としての魔物を想定したことは、科学技術革命の根本を動かす画期的な拍車を発明したということになる。それはニュートンの時代においてはなお仮想されていた「神」に代わる知的魔物となり、科学と技術の代行神となり、その後はたとえば人工知能という代名詞にすりかわっていったものでもあった。
　しかしながら、このような「ラプラスの魔」の想定から多くの科学や技術が発展してきたということは、現代のシステムを成立させている根本基盤はちょっとした計算ミスで狂ってしまうということでもある。また、地震や津波の初期条件が確定できない以上、むしろ庶民の「恐れ」や「警戒心」のほうが現状の科学技術より重要だということになる。もっと重要なことは、そもそも科学ははたして初期条件の決定から構築されていいものかどうかということなのだ。
　こうしたことを考えていくと、いまだ「ラプラスの魔」の正体はほとんど解明されていないというべきだった。問題は、ライブドアにもフジテレビにも、「世界というシステム」につながるラプラスの魔すら見えなくなってしまったということなのである。