科学と方法

　昭和がはじまるころ、日本に最初の科学哲学ブームがおこった。とくに田辺元は西田哲学を継承しながらも必死に量子力学に挑戦し、ハイゼンベルクの「不確定性」などの難解な概念にとりくもうとしていた。その模索にはどこか科学を理想的に解釈しすぎるところがあった。この印象は、のちのニューエイジ・サイエンスに見られたものとやや近い。
　なぜそうなったかというと、かれらにはハイゼンベルクはいたが、ガウスがいなかったし、アインシュタインはいたが、ミンコフスキーがいなかった。そしてなにより、ポアンカレがいなかったのである。田辺元はポアンカレを読めたはずである。『科學と方法』が山本修や吉田洋一に訳されたのは昭和のはじめだったのだ。

　ポアンカレはぼくの科学全般のクライテリア（評価基準）を示す出発点だった。最初に『科學と方法』を読み、ついで『科學と仮説』を読んだ。
　当時の読後感では後者のほうが刺激的だったのだが、その後、読みかえす機会があって、やはり『科學と方法』はヨーロッパの科学と哲学のデカルト的正統性を踏まえていながら、たんにその延長にとどまらない科学的思考をのばすにはどうすればよいのかという根本問題にふれていて、ずっとベーシックな気がしてきた。とくに第２篇「數學的推理」はぼくを何度もそこへ立ち戻って考えさせてくれた。
　そのころ（２５歳くらいのころのことだが）、ぼくは１９世紀末から２０世紀初頭の科学にどっぷり浸かりたくて、その周辺を遊弋していた。
　最初はフリードリッヒ・ガウスだ。曲率論に酔い、非ユークリッド幾何学に溺れた。その勢いでフェリックス・クラインの「エルランゲン・プログラム」で多様体の幾何学に分け入り、そこからトポロジーをちょこちょこ齧るようになった。それがドゥ・ブロイの『物質と光』をボロボロの古本（岩波新書の赤本）で読んでから急にその前史が知りたくなって、物理学のほうへ転戦していった。
　まずはエルンスト・マッハの力学を、ついでローレンツ収縮とミンコフスキー時空連続体を、それから前期量子論のたぐいを、そしてアインシュタイン著作集（改造社や共立出版）に入っていった。途中、アルフレッド・ホワイトヘッドの『科学と近代世界』や『自然という概念』（松籟社やみすず書房）を読んだのがよかったらしく、この探検ではつねにどきどきするような収穫があった。そして、いよいよポアンカレだったのである。
　これでやっと数学の快感が見えた。なんだ、ポアンカレにはほとんどのことが予見されていたのかという快感だ。数学するということが予見することである、と感じられたのだ。この快感に酔ったぼくは、すぐに「数学的自由」という造語をつくったほどだ（ガウスからの影響もあった）。そのあとは勇んでヒルベルトとコーン＝フォッセンの『直観幾何学』（みすず書房）に突入していったのかとおもう。
　
　第一次大戦の渦中、イギリスの将軍がバートランド・ラッセルにこんなことを聞いたらしい。「いま、フランスで一番偉大な人物は誰なのか」。ラッセルは言下に「ポアンカレです」と答えた。将軍がフランス共和国大統領のレイモン・ポアンカレのことかと思って、「ほう、あの男がね」という反応をしたところ、ラッセルは「いや、数学者のアンリ・ポアンカレが偉大なんです」とまたまた言い放った。
　アンリはレイモンの従兄だった。数学者が一国を代表する最も偉大な人物であるとされるというのは、きわめてめずらしい。アルキメデスかガウス以来のことではないかと思う。それを皮肉屋をもって鳴るラッセルが持ち出したというのも、めずらしい。
　では、ポアンカレはどこが偉大だったのか。いまならラッセルに代わって、いろいろ説明できる。ポアンカレは純粋数学であれ応用数学であれ、ほとんどの数学領域を独自にカバーできた最後の数学者だった（数学の新局面を告げた論文が５００を超えている）。今日では、いわゆる数学４部門（数論・代数学・幾何学・解析学）のうちの２つですら、カバーできる数学者がほぼいない。まして数学４部門に高度な研究を質的に残せるということなど、夢のまた夢だ。それをポアンカレはやってのけた。なぜ、そんなことができたのか。

　ポアンカレが鉱山学校で結晶学を修めていたことに注目したい。１８５４年にナンシーで生まれ、高校生のときには“数学好きの怪物”だと噂され、文学と科学でバカロレア（フランス教育省が認定する中等教育修了資格および大学入学資格）をとると、グエコール・ポリテクニーク（エリート養成機関の一つ）でも数学に熱中した。
　エコールを卒業すると、鉱山学校に入って結晶学に打ち込んだ。結晶学こそ数学思考を鍛錬するにもってこいだったからだろう。群論的感覚と解析的視野はここで養ったのではないかと思う。１８７９年には採鉱技師として働いてもいる。
　鍛え抜いた才能によって、ポアンカレを最初に有名にしたのは楕円関数の一般化だった。このことには数学史ではたいてい「絢爛たる成果」というようなおおげさな形容詞がつく。１８８０年、２６歳のときである。微分方程式論からの“変化”だった。
　鮮やかな方法的発見はそのあともずっとつづく。ポアンカレは位置幾何学や位相幾何学の創始者であって、複素変数関数論の立役者であった。もっと有名なのは三体問題やフェルマーの定理などの難問を提出したことだ。複雑系の科学やカオス理論の先駆的予見者でもあった。

　あるときポアンカレは、次のような課題をノートに書いた。「すべての惑星は現在の軌道とほとんど同じ軌道上を、今後も運動しつづけるのだろうか。それとも太陽系外に飛び去ってしまったり、太陽に衝突したりする惑星もあるのだろうか」。
　これはとんでもない問いだった。ニュートン力学では宇宙における２つの天体は、２つの間の運動方程式（微分方程式）を積分すれば安定した周期解をもつことができた。けれども三体あるいはそれ以上の多体があると、どうなるか。ニュートンの後継者たちは三体あるいは多体の系についても運動方程式を積分して解くことを試みたのだが、すべて積分不能となって行きづまってしまったのだ。方程式は書けるものの、それを解くのがきわめて難しかった。ポアンカレはこのことについて、三体問題を積分法で解くことは不可能であることをあっさり証明してみせた。
　ポアンカレは、微分方程式の解の大域的性質を幾何学的に研究することが必要だろうと予想したのである。解があるかないか、周期的かどうか、どんな周期なのか、構造安定なのかどうか、こういうことを調べる方法があるはずだと見定めたのだ。今日、これは一方では位相幾何学として確立し、他方ではここから「力学的カオスの軌道」が予想されるようになった。驚くべきかな、ポアンカレだ。
　こんなことがいくつも先行していたため、科学史が口癖のように惜しむのは、もしポアンカレがもう３０年おそく生まれるか、もう２０年長生きしていたらアインシュタインの相対性理論の大半を手掛けていただろうことである。さもあろうけれど、そんなことを言っても詮ないことである。ポアンカレを洒落て解説したいなら、大学で数学に抜きん出る前に鉱山学校にいて鉱山技師をめざしていたということや、土星の環に惹かれてその安定性を夜な夜な考えたということではあるまいか。
　
　きっとポアンカレには、そう言っていいならぜひそう言いたいのだが、比類ないアブダクティブ（仮説的）な思考力があったのだろうと思う。
　『科學と仮説』に書いてあることに、仮説は科学者の世界観を反映しているという一節がある。この仮説はどこから出てくるかというと、ひとつには物質の性質を考えているうちに生まれる。これは「分析的判断」のためのプロセスが生んだ仮説になる。もうひとつは物質の運動を考えているときに生まれる仮説で、これは「総合的判断」をしようとしていると生まれる。
　これが科学者に浮かぶ一般的な仮説だが、この両者ともすぐに「経験」や「実証」に照らし合わせることになる。もちろん科学にとってこのことは重要なのだが、ポアンカレは第三の仮説がありうると見た。それは「先行的判断」や「先行的総合」がつくりだす仮説なのである。
　これをもってポアンカレのアブダクション（仮説的推論）と言っていいかどうかは自信がないが、それに近いものがあるだろう。ともかくもこうして、『科學と仮説』についで『科學と方法』に向かったポアンカレは、「科学者がその好奇心の前にあらわれる可能性の中から何を選ぶべきか」という方法に着目するのである。そして、この決定には先行力や直観力が重大な役割をもつと踏んだのだった。
　こういうふうに踏み切るポアンカレを、天才的直観力の持ち主だと称えるだけではなくて、ほかにどう解説していけばいいのか、言葉がない。だから当時、ぼくは数学的直観主義の学習のほうへ逃げこんでいったのだった。

　というところで、ぼくが『科學と方法』で感服した有名なエピソードを紹介して今夜のポアンカレ讃歌を区切ることにする。
　ポアンカレは自分でフックス関数と名付けたものをいじくっていた。この関数に類似のものはないことを証明しようとしていた。ところがいくらやっても証明の糸口がない。だいたいの予見はあるのに証明に進めない。ミルクを入れないコーヒーばかり飲む２週間ほどがたって、ある夜、超幾何級数から誘導されるフックス関数の一部類の存在を証明すればいいのだと気がついた。そこでテータフックス級数というものを創造してみた。
　けれどもそれをどう動かすかというところで、多忙に紛れはじめた。アタマの中からも数学的課題が消えていた。それなのに旅先で乗合馬車に乗ろうとしてステップに足をかけた瞬間に、フックス関数を定義するために用いた変換は非ユークリッド幾何学の変換とまったく同じであるという、推理のプロセスになんら保証のない考えが浮かんだのだ。馬車の中に入ると乗り合わせた客と会話がはずんで、そのことを考えてみる余裕はなかった。
　しばらくたってこれらのことをふりかえる機会がやってきた。ポアンカレは猛然とすべての難関を攻略するための作業にとりかかる。あやしい問題を次々に片付け、あと１つの難関を攻め落としさえすればすべてが解決というところにさしかかったとき、今度はまったく予期せぬ暗礁にのりあげた。ポアンカレは兵役に従事せざるをえなくなり、ここでふたたびアタマの中からこの問題は去ってしまった。それがある日、ある大通りを横断しているときにすべてが蘇り、最後の困難を突破する解法がひらめいたのだ。
　ポアンカレは書いている、「突如として啓示を受けることはある。しかしそれは無意識下で思索的研究がずっと継続していたことを示しているのだ」。
　ポアンカレはこのことを「数学的発見における精神活動の関与」とよんだ。これはのちにマイケル・ポランニーが「暗黙知」と名づけたものが動いていたということを暗示する。ポアンカレは暗黙知の数学の発見者でもあったのである。ぼくがポアンカレに参りはじめたのは、ここからだったのだ。