高木貞治
近世数学史談
河出書房 1942 岩波文庫 1995 共立出版 1996
ISBN:4003393910

 高木貞治は明治8年の岐阜本巣に生まれている。古田織部と同じ故郷である(岐阜の人は織部と高木と、そして久松真一を誇るといい)。日清戦争とともに東京帝大に入った。数学を教えたのは菊地大麓と藤沢利喜太郎だった。微積分につづいて楕円関数論などを収めるかたわら、図書館の科学書と数学書をかたっぱしから読んでいる。
 その後、アーベルの方程式を解読しているうちに、時の文部大臣の外山正一が辞職の置き土産にした日本最初の留学制度によってドイツに行く。だいたい滝廉太郎がライプチッヒに行った時期から見れば10年ほど遅いけれど、それでも勇気のいることだったろう。滝廉太郎もそうだったのだが、日本で学んだ洋学や洋楽なんてものは本場へ行けば吹けば飛ぶようなものだったのだ。まして数学である。ヨーロッパでは、ちょうどワイエルシュトラウス、クロネッカー、クンメルの"数学釈迦三尊"が隆盛時代をつくりおわった直後である。
 ところがベルリンの日々は高木にはつまらなかったようだ。明治33年にはゲッチンゲン大学に移った。1900年である。この年は日本の「洋行の歴史」とでもいうべき視点でみると記念すべき年で、漱石がロンドンに入る前にパリ博覧会に寄り、竹内栖鳳もパリ博に行き、川上音二郎が貞奴をともなってニューヨークに出向いた年だった。しかし、このなかで漱石と高木はヨーロッパに驚かなかったのである。
 ゲッチンゲン大学ではクラインとヒルベルトが、さらにミンコフスキーが講義をしていた。ぼくがいちばん憧れた「ゲッチンゲン数学の春」が爛漫と咲き誇っていた時期である。なんとも羨ましいけれど、それ以上に感嘆するのは青年高木がゲッチンゲンの春にいささかも怯むことなく、これを存分に満喫できたことである。

 たとえば、こんな話を高木は書いている。
 担当教官となったヒルベルトが高木に「おまえは代数体の整数論をやりたいらしいが、ほんとうにやるつもりか」と聞いたらしい。当時、代数的整数論などというものは世界中でもゲッチンゲンしかやっていないのだから、東洋の片隅の日本からやってきたおまえはそんなことができるとはおもえない、という意味である。
 高木が「やります」と答えたところ、ヒルベルトはすぐさま「代数函数は何で決まるか」と尋ねた。口頭試問のつもりであったのだろう。高木がぼうっとしていたら、ヒルベルトは「リーマン面で決まるんだ」と言った。なんだ、そんなことを答えればいいのかと思ったが、黙っていたところ、面魂(つらだましい)でもいいと見えたのか、自分の家に来いという。
 そこでのこのこついていって、ヒルベルトの家で、高木は自分がやりたいのは「基礎のフィールドがガウスの数体であるばあいの数学論」、すなわち「レムニスケート函数の虚数乗法」をやりたいのだという旨を告げた。これはそのころ「クロネッカーの青春の夢」という美しい名でよばれている問題のひとつで、当時、日本人の誰一人として知らなかった問題だった。
 この挿話は日本人高木の豪胆を物語るものではなく、高木の数学コスモポリタンとしてのセンスの高さをあらわしている。しかし、高木は日本にいる覚悟ももっていた。

 ともかくもこうして、高木は独自の数学の構築にいそしんでいった。帰国後も東洋の片隅にの学で教えながら整数論にとりくんだ。
 何にとりくんだかというと、一口にいえば、ヒルベルトの「類体は不分岐だ」という主張をくつがえし、不分岐の条件を捨てた類体論にとりくんだ。相対アーベル体論である。なぜ、そんなことにとりくめたのかということを、高木自身は「東洋の片隅」のせいにしている。
 当時、第一次世界大戦が始まって、ろくにヨーロッパの専門書や論文が届かなくなったらしいのだが、それでしかたなく自分で疑問をつくって解読するしかなくなったせいだというのである。
 けれども、この研究の日々はそうとうにたいへんだったようだ。なにしろ自分がやっていることを検証できる者がいない。日本では高木貞治は前人未踏なのである。まわりには高木が考えていることに耳を傾けられる者すらいなかった。
 しかしそうなると、不安にさいなまれるらしい。解法のヒントをしばしば夢にまでみるのだが、それを朝起きてやってみると、ぜんぜんちがっている。そのうえ、自分が学んだドイツはしだいにナチスに犯されておかしくなっている。それとともに日本もおかしくなっていた。大学もおかしな雰囲気に包まれる。なんだか一人で数学の大道に立ち向かっているようなのだ。そういう苦闘の日々がつづいたようだ。

 本書は、1796年3月30日に19歳のガウスがひらめいた話から始まっている。ガウスは正17角形の作図法に気がついた。高木はこれを第1章「正17角形のセンセーション」と銘打って、ガウスがやりとげた数学を解説しつつ、しだいに近代数学がどのように生まれたかという手順で、話を展開していっている。
 ぼくがこれを読んで、「遊」のスタッフであった十川治江に勧めた。彼女は早稲田の理工学部を首席で卒業して、しばらく東芝にいて、それから設立したばかりの工作舎を手伝いにやってきた。以来ずっと工作舎を支えている。とくに数学が得意で、矢野健太郎のいじわるな出題などはほとんど淀まない。いつか工作舎を訪れた広中平祐が驚いていた。
 あるとき、その十川に一つのヴィジョンと二つの課題を話した。ヴィジョンのほうは、フリードリッヒ・ガウスの幾何学と曲率論にちなむもので、ぼくはとくとくと言ったものだ、「ガウスの直観こそが数学なんだよ。ぼくはガウスの精神をもって編集をしたい」。十川が聞いた。「ガウスの精神って何ですか」。「少数なれど熟したり、っていうことだ」。
 提案のほうは、日本の科学者のエッセイを近代から集めなおして何冊かのアンソロジーを編集しよう、それを担当してほしいということだった。これはのちに「日本の科学精神」全5巻となった。彼女はまっさきに数学の巻『数の直観に始まる』にとりくみ、そこで高木貞治に出会って興奮したようだった。「松岡さん、高木貞治ってやっぱりかっこいいですねえ、ダンディですねえ」。ぼくは嬉しくなった。
 その後、ぼくはちょっと風変わりな言葉を三つ、つくった。「遊星的郷愁」と「数学的自由」と「科学的愉快」というものだ。「遊星的郷愁」は地球の上に生まれてしまった香ばしい失望感をあらわすものとして、ジュール・ラフォルグや稲垣足穂を念頭においている。「数学的自由」はガウスやポアンカレを念頭においたもので、解放ではなく解法こそが自由なんだというつもりである。「科学的愉快」は寺田寅彦湯川秀樹を念頭においていて、厳密なものからこみあげてくる愉快をあらわしたかった。いずれも当時のぼくの思想感覚が最もよくあらわれている。ぼくと十川は『科学的愉快をめぐって』という対談本も刊行した。
 そのあいだ、何度、高木貞治のスピリットに戻って夜を徹したものか――。

 高木貞治のスピリットや数学ダンティズムがどういうところに感じられるかということは、説明がしにくいが、次のことを知れば万事が推しはかれるのではないかと思う。
 ぼくも十川も好きだった「日本語で数学を書く」というエッセイがあるのだが、そのなかに"object"を日本語にするにあたって、高木はこれを「目当て」と訳したのだ。いや、訳したのではなく、"object"のほんとうの意味は「見当をつける」というところにあるのだと断定してみせたのだ。これはすばらしい。ここには「オブジェクトはたんなる対象であるわけがない!」という見通しが躍っている。
 実際にも、初期のオックスフォード辞典では、オブジェクトとサブジェクトの意味は、われわれがいま使っている意味とは半ば逆の意味をもっていたのである。神学上の意味あいが強かったのだが、オブジェクトは神に向かうための方向や目標をあらわしていて、サブジェクトはその神に従事するものをあらわしていた。もっとわかりやすくいえば、神とサブジェクトのあいだにあるものがオブジェクトなのである。
 そんなことを持ち出さずとも、まさにオブジェクトは「見当」というべきかもしれない。そこへ向かうための目印こそがオブジェクトなのである。そのように見ることがまた、それこそ数学的自由であって科学的愉快というものであろう。

 高木貞治の数学ダンテイズムは時代や文化や社会にも切れ味を発揮していた。本書の付録に入っている「回顧と展望」にはこんなことを書いている。たいへんに示唆深い。
 数学には「三つの大きなA」がある。クラインがよくそのことを強調した。Arithmeti、Algebra、Analysis
である。この統合こそが数学だった。そう、高木は見た。それが最近では、みんなみんな「一つの小さなa」ばかりを追いかけている。それは
abstract である、と。
 こんなことでいいのかと高木は言いたかったのだ。「一つの小さなa」ばかり追いかけてどうするのか、と問いたかったのだ。これは、高木が文化勲章を受賞した1940年のときの記念講演での、すなわち60年も前の警告だった。たしかに、われわれはその後もキャピタル(大文字)を欠いた"a"にかまけすぎている。3つのキャピタルAを束ねる力を失っている。
 残念ながらいまなお、この高木の警告は守られているとは思えない。

参考¶高木貞治の本は入手しずらい。『数学雑談』『近世数学史談話』が共立全書に入っているほかは、『数学小景』と『数の概念』が岩波書店で出ている。詳しいことは、工作舎の「日本の科学精神」シリーズ第1巻「数の直観に始まる」をぜひ読んでほしい。これも書店では手に入らないが工作舎に注文すれば送ってくれる。ついでに十川治江の声を聞くとよい。

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